你能解決獅子和羔羊經典遊戲理論難題嗎?

你能解決獅子和羔羊經典遊戲理論難題嗎?

殺死一隻小羊需要多少只獅子? 答案並不像你想像的那麼簡單。 至少根據博弈論不是這樣。

博弈論 是數學的一個分支,研究和預測決策。 它通常涉及創建假設場景或“遊戲”,其中稱為“玩家”或“代理人”的許多個人可以根據一系列規則從一組定義的動作中進行選擇。 每個動作都有一個“回報”,目的通常是找到每個玩家的最大回報,以便弄清楚他們的行為方式。

該方法已用於多種主題,包括 經濟學, 生物學, 政治 - 心理學,並幫助解釋拍賣,投票和市場競爭中的行為。 但是由於其性質,博弈論也引發了一些有趣的腦筋急轉彎。

其中一個不太出名的難題包括弄清楚玩家如何在資源上競爭,在這種情況下,飢餓的獅子和美味的羊肉。 一群獅子生活在草覆蓋的島嶼上,但沒有其他動物。 獅子是相同的,完全理性的,並且意識到所有其他的都是理性的。 他們也意識到所有其他獅子都知道所有其他獅子都是理性的,等等。 這種相互意識就是所謂的“常識“。 它確保沒有獅子會抓住機會或試圖超越其他人。

當然,獅子非常飢餓,但他們並不試圖互相爭鬥,因為它們的體力相同,因此不可避免地最終都會死亡。 因為它們都是完全理性的,所以每隻獅子都喜歡飢餓的生活,特別是死亡。 沒有其他選擇,他們可以通過吃一種基本上無限量的草來生存,但他們都喜歡吃更多的東西。

有一天,一隻小羊奇蹟般地出現在島上。 這似乎是一個多麼不幸的生物。 然而它實際上有倖存在這個地獄,取決於獅子的數量(由字母N表示)。 如果任何獅子消耗掉那些手無寸鐵的羔羊,它就會變得太滿,無法保護自己免受其他獅子的傷害。

假設獅子不能分享,那麼挑戰就是要弄清楚羔羊是否會依賴於N的價值而存活。或者,換句話說,每隻獅子的最佳行動方式是什麼 - 吃羊肉或不吃羊肉 - 取決於該群體中有多少人。

解決方案

這種類型的博弈論問題,你需要找到N的一般值(其中N是正整數)的解決方案,是測試遊戲理論家邏輯和證明反向歸納如何工作的好方法。 邏輯歸納涉及使用證據來形成可能正確的結論。 向後誘導 通過一步一步地回到最基本的案例,可以通過一個簡單的邏輯論證來解決問題,從而找到一個明確定義的問題答案。

在獅子遊戲中,基本情況是N = 1。 如果島上只有一隻飢餓的獅子,它會毫不猶豫地吃羊肉,因為沒有其他的獅子可以與它競爭。

現在讓我們看看在N = 2的情況下會發生什麼。 兩隻獅子都得出結論,如果其中一隻獅子吃掉了羔羊並且變得太飽而無法自衛,它就會被另一隻獅子吃掉。 結果,這兩個人都不會嘗試吃羔羊,所有三隻動物都會幸福地生活在島上吃草(如果生活完全取決於兩隻飢餓獅子的合理性,可以稱之為快樂)。

對於N = 3,如果任何一隻獅子吃掉羊羔(實際上變成無防禦的羔羊本身),它會將游戲減少到與N = 2相同的情況,其中剩下的獅子都不會嘗試消耗新的手無寸鐵的獅子。 因此,最接近實際羔羊的獅子吃它,三隻獅子留在島上而不試圖互相謀殺。

並且對於N = 4,如果任何獅子吃掉羊肉,它會將游戲減少到N = 3情景,這意味著吃羊肉的獅子最終會被自己吃掉。 由於沒有一隻獅子希望這種情況發生,所以他們只留下羔羊。

談話從本質上講,遊戲的結果取決於獅子最接近羔羊的動作。 對於每個整數N,獅子意識到吃羊肉會使遊戲減少到N-1的情況。 如果N-1案例導致羔羊的存活,那麼最近的獅子就會吃掉它。 否則,所有的獅子都讓羔羊活著。 因此,每次按照邏輯回到基本情況,我們可以得出結論,當N是奇數時,羊羔將永遠被吃掉,並且當N是偶數時它將存活。

關於作者

Amirlan Seksenbayev,數學科學,概率論和應用博士候選人, 倫敦大學瑪麗皇后學院

這篇文章最初發表於 談話。 閱讀 原創文章.

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