殺死一隻小羊需要多少只獅子？ 答案並不像你想像的那麼簡單。 至少根據博弈論不是這樣。
博弈論 是數學的一個分支，研究和預測決策。 它通常涉及創建假設場景或“遊戲”，其中稱為“玩家”或“代理人”的許多個人可以根據一系列規則從一組定義的動作中進行選擇。 每個動作都有一個“回報”，目的通常是找到每個玩家的最大回報，以便弄清楚他們的行為方式。
該方法已用於多種主題，包括 經濟學, 生物學, 政治 和 心理學，並幫助解釋拍賣，投票和市場競爭中的行為。 但是由於其性質，博弈論也引發了一些有趣的腦筋急轉彎。
其中一個不太出名的難題包括弄清楚玩家如何在資源上競爭，在這種情況下，飢餓的獅子和美味的羊肉。 一群獅子生活在草覆蓋的島嶼上，但沒有其他動物。 獅子是相同的，完全理性的，並且意識到所有其他的都是理性的。 他們也意識到所有其他獅子都知道所有其他獅子都是理性的，等等。 這種相互意識就是所謂的“常識“。 它確保沒有獅子會抓住機會或試圖超越其他人。
當然，獅子非常飢餓，但他們並不試圖互相爭鬥，因為它們的體力相同，因此不可避免地最終都會死亡。 因為它們都是完全理性的，所以每隻獅子都喜歡飢餓的生活，特別是死亡。 沒有其他選擇，他們可以通過吃一種基本上無限量的草來生存，但他們都喜歡吃更多的東西。
有一天，一隻小羊奇蹟般地出現在島上。 這似乎是一個多麼不幸的生物。 然而它實際上有倖存在這個地獄，取決於獅子的數量（由字母N表示）。 如果任何獅子消耗掉那些手無寸鐵的羔羊，它就會變得太滿，無法保護自己免受其他獅子的傷害。
假設獅子不能分享，那麼挑戰就是要弄清楚羔羊是否會依賴於N的價值而存活。或者，換句話說，每隻獅子的最佳行動方式是什麼 - 吃羊肉或不吃羊肉 - 取決於該群體中有多少人。
解決方案
這種類型的博弈論問題，你需要找到N的一般值（其中N是正整數）的解決方案，是測試遊戲理論家邏輯和證明反向歸納如何工作的好方法。 邏輯歸納涉及使用證據來形成可能正確的結論。 向後誘導 通過一步一步地回到最基本的案例，可以通過一個簡單的邏輯論證來解決問題，從而找到一個明確定義的問題答案。
在獅子遊戲中，基本情況是N = 1。 如果島上只有一隻飢餓的獅子，它會毫不猶豫地吃羊肉，因為沒有其他的獅子可以與它競爭。
現在讓我們看看在N = 2的情況下會發生什麼。 兩隻獅子都得出結論，如果其中一隻獅子吃掉了羔羊並且變得太飽而無法自衛，它就會被另一隻獅子吃掉。 結果，這兩個人都不會嘗試吃羔羊，所有三隻動物都會幸福地生活在島上吃草（如果生活完全取決於兩隻飢餓獅子的合理性，可以稱之為快樂）。
對於N = 3，如果任何一隻獅子吃掉羊羔（實際上變成無防禦的羔羊本身），它會將游戲減少到與N = 2相同的情況，其中剩下的獅子都不會嘗試消耗新的手無寸鐵的獅子。 因此，最接近實際羔羊的獅子吃它，三隻獅子留在島上而不試圖互相謀殺。
並且對於N = 4，如果任何獅子吃掉羊肉，它會將游戲減少到N = 3情景，這意味著吃羊肉的獅子最終會被自己吃掉。 由於沒有一隻獅子希望這種情況發生，所以他們只留下羔羊。
從本質上講，遊戲的結果取決於獅子最接近羔羊的動作。 對於每個整數N，獅子意識到吃羊肉會使遊戲減少到N-1的情況。 如果N-1案例導致羔羊的存活，那麼最近的獅子就會吃掉它。 否則，所有的獅子都讓羔羊活著。 因此，每次按照邏輯回到基本情況，我們可以得出結論，當N是奇數時，羊羔將永遠被吃掉，並且當N是偶數時它將存活。
關於作者
Amirlan Seksenbayev，數學科學，概率論和應用博士候選人， 倫敦大學瑪麗皇后學院
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